Решение задания 8 ЕГЭ по математике профильного уровня


Многие выпускники 11-х классов, которые выбирают ЕГЭ профильного уровня по математике, считают задание 8 трудным и опасаются его. И это несмотря на то, что с первого класса решали текстовые задачи на уроках математики.

На вопрос почему, отвечают так: нереально научиться решать все текстовые задачи, поскольку их очень много и все они решаются по-разному.

Учащиеся, которые так думают, ошибаются. Научиться решать все текстовые задачи вполне РЕАЛЬНО! Это только на первый взгляд задачи не похожи. Подходим к решению проблемы комплексно.

Первое, что нужно:

– знать, какие типы задач на экзамене,

– понимать, к какому типу относится задача, которую предстоит решить,

– владеть основными способами решения задач каждого типа.

Ниже на схеме представлены типы задач, которые встречаются в задании 8 егэ по математике.

Blue Simple Process Flow Chart Graph(1).png

Что нужно знать для того, чтобы успешно справиться с текстовой задачей 8 ЕГЭ по математике?

Движение

Работа

Смеси и сплавы

Проценты

S - путь (км),

v -скорость (км/ч),

t – время (ч)

S =

A –работа,

x -производительность

t - время

A=x t

m (кг) – масса раствора, содержащего

n % вещества.

кг вещества в растворе.

S – вклад в банк (руб.) под r % годовых.

Через 1 год на вкладе S (1+

Через n лет - руб.

Что нужно уметь для того, чтобы успешно справиться с текстовой задачей?

1) Составлять математическую модель задачи, то есть перевести условие с русского языка на математический, например, составить уравнение (предварительно по данным текста можно составить таблицу или сделать рисунок).

2) Применять математические знания при реализации модели, чаще всего решать уравнение.

Приведём примеры задачи 8 ЕГЭ по математике профильного уровня на движение по прямой.

Задача 1 (движение в одном направлении).

Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на 1,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным 300 метрам?

Решение. Через 1 час расстояние между пешеходами станет равным 1,5 км=1500 м, что в 5 раз больше 300 м, значит, расстояние между пешеходами станет 300 м через 1 ч. : 5 = 60 мин. : 5=12 мин.

Можно решить задачу иначе: пусть v км/час – скорость первого пешехода, а (v+1,5) км/ч, пусть через t часов расстояние между пешеходами станет равным 0,3 км. Тогда (v+1,5)t-vt=0,3, 1,5t =0,3, t=0,2 (час.)=12 (мин.).

Ответ. 12

Задача 2 (встречное движение).

По двум параллельным железнодорожным путям навстречу друг другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.

Решение. Пусть l м - длина скорого поезда.

Скорость сближения поездов равна 65+35=100 (км/ч) = (м/с). За 36 секунд скорый поезд прошёл путь, равный (l+700) м. Тогда , l=300 м.

Можно решить задачу иначе: пусть l м - длина скорого поезда. Если бы пассажирский поезд стоял, а скорый поезд проезжал мимо него со скоростью 100 км/ч, то время, за которое скорый поезд прошёл мимо пассажирского, то есть путь, равный (l+700) метров, было бы равно 36 секундам. Тогда м.

Ответ. 300.

Задача 3 (движение по воде).

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 255 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 34 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Решение. Пусть x км/ч - скорость теплохода в неподвижной воде, тогда (x+1) км/ч и (x-1) км/ч скорость теплохода по течению и против течения соответственно.

12121212.png



Время на путь по течению равно а время на путь против течения - ч.

Так как в пути теплоход был 34-2=32 часа, то можно составить уравнение получим 32 16 , откуда x=16 км/ч.

Ответ. 16

Приведём примеры задач на проценты и смеси и сплавы.

Задача 4 (проценты)

В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

Решение.

Первоначальная стоимость акций компании

n

Цена акций в понедельник после подорожания на x%

n (1+ )

Цена акций во вторник после падения цены на x%

n (1+ ) =0,96n

, , .

Ответ. 20%

Задача 5 (смеси и сплавы)

В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.


Объём раствора

Процентное содержание вещества в растворе

Объём вещества

в растворе

Первоначальный раствор

12%

5

Раствор после добавления воды

5+7=12 л

?

0,6 л

Составим пропорцию 12 л - 100%

0,6 л - ?

Ответ. 5 %